Top.Mail.Ru

RC-цепь. Дифференцирующие и интегрирующие RC-цепи.

Обсудив в предыдущих статьях устройство и принцип работы резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, мы имеем полное право перейти к рассмотрению цепей, состоящих из этих элементов 👍 Этим сегодня и займемся.

Дифференцирующая RC-цепь.

Из названия цепи, в принципе, уже понятно, что за элементы входят в ее состав - это конденсатор и резистор. И выглядит она следующим образом:

Дифференцирующая RC цепь

Работа данной схемы основана на том, что ток, протекающий через конденсатор, прямо пропорционален скорости изменения напряжения, приложенного к нему:

i = C\medspace\frac{du_c}{dt}

Напряжения в цепи связаны следующим образом (по закону Кирхгофа):

u_{out} = u_{in}\medspace-\medspace u_c

В то же время, по закону Ома мы можем записать:

u_{out} = i R = C R\medspace\frac{du_c}{dt}

Выразим u_c из первого выражения и подставим во второе:

u_{out} = C R\medspace\frac{du_c}{dt} = C R\medspace(\frac{du_{in}}{dt}\medspace-\medspace \frac{du_{out}}{dt}\medspace)
u_{out} = C R\medspace\frac{du_{in}}{dt}\medspace-\medspace C R\medspace\frac{du_{out}}{dt}

При условии, что C R\medspace\frac{du_{out}}{dt} << u_{out} (то есть скорость изменения напряжения низкая) мы получаем приближенную зависимость для напряжения на выходе:

u_{out} \approx C R\medspace\frac{du_{in}}{dt}

Таким образом, цепь полностью оправдывает свое название, ведь напряжение на выходе представляет из себя дифференциал входного сигнала. Но возможен еще и другой случай, когда C R\medspace\frac{du_{out}}{dt} >> u_{out} (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства получаем другую ситуацию:

C R\medspace\frac{du_{in}}{dt} = C R\medspace\frac{du_{out}}{dt}

То есть: u_{out} \approx u_{in}.

Можно заметить, что условие C R\medspace\frac{du_{out}}{dt} << u_{out} будет лучше выполняться при небольших значениях произведения C R, которое называют постоянной времени цепи:

\tau = R C

Давайте разберемся, какой смысл несет в себе эта характеристика. Заряд и разряд конденсатора происходят по экспоненциальному закону:

u = U_0\medspace e^{-t/\tau}

Здесь U_0 - напряжение на заряженном конденсаторе в начальный момент времени. Теперь посмотрим, каким будет значение напряжения по истечении времени \tau:

U_{\tau} = U_0\medspace e^{-\tau/\tau} = U_0\medspace e^{-1} \approx 0.37\medspace U_0

Напряжение на конденсаторе уменьшится до 37% от первоначального. Таким образом, \tau - это время, за которое конденсатор:

  • при заряде - зарядится до 63%
  • при разряде - разрядится на 63% (разрядится до 37%)

С постоянной времени цепи разобрались, вернемся к дифференцирующей RC-цепи. Теоретические аспекты функционирования проанализировали, так что давайте посмотрим, как все это работает на практике. А для этого попробуем подавать на вход какой-нибудь сигнал и посмотрим, что получится на выходе. В качестве примера, подадим на вход последовательность прямоугольных импульсов:

Прямоугольные импульсы на входе дифференцирующей цепи

А вот как выглядит осциллограмма выходного сигнала (второй канал - синий цвет):

Выходной сигнал цепи

Большую часть времени напряжение на входе неизменно, а значит его дифференциал равен 0 (производная константы = 0). Именно это мы и видим на графике, значит RC-цепь выполняет свою дифференцирующую функцию. А с чем связаны всплески на выходной осциллограмме? Все просто - при "включении" входного сигнала происходит процесс заряда конденсатора, то есть по цепи проходит ток и напряжение на выходе максимально. А затем по мере протекания процесса заряда ток уменьшается по экспоненциальному закону до нулевого значения, а вместе с ним уменьшается напряжение на выходе, ведь оно равно u_{out} = i R. Теперь увеличим масштаб осциллограммы и получим наглядную иллюстрацию процесса заряда:

Зарядка конденсатора

При "отключении" сигнала на входе дифференцирующей цепи происходит аналогичный переходный процесс, но только вызван он не зарядом, а разрядом конденсатора.

В данном случае постоянная времени цепи имеет небольшую величину, поэтому цепь хорошо дифференцирует входной сигнал. По нашим теоретическим расчетам, чем больше мы будем увеличивать постоянную времени, тем больше выходной сигнал будет похож на входной. Давай проверим это на практике, будем увеличивать сопротивление резистора, что и приведет к росту \tau:

Пример дифференцирующей RC цепи

Тут даже не надо ничего комментировать - результат налицо 👍 Мы подтвердили теоретические выкладки, проведя практические эксперименты, так что переходим к следующему вопросу - к интергрирующим RC-цепям.

Интегрирующая RC-цепь.

Запишем выражения для вычисления тока и напряжения данной цепи:

i = C\medspace\frac{du_{out}}{dt}

В то же время ток мы можем определить из Закона Ома:

i = \frac{u_R}{R} = \frac{u_{in}\medspace-\medspace u_{out}}{R}

Приравниваем эти выражения и получаем:

C\medspace\frac{du_{out}}{dt} = \frac{u_{in}\medspace-\medspace u_{out}}{R}
du_{out} = \frac{1}{C}\medspace\frac{u_{in}\medspace-\medspace u_{out}}{R}\enspace dt

Проинтегрируем правую и левую части равенства:

u_{out} = \frac{1}{R C}\medspace \int(u_{in}\medspace-\medspace u_{out})\medspace dt = \frac{1}{R C}\medspace \int u_{in}\medspace dt\medspace-\medspace \frac{1}{R C}\medspace \int u_{out}\medspace dt

Как и в случае с дифференцирующей RC-цепочкой здесь возможны два случая:

  • Если u_{out} << \frac{1}{R C}\int u_{out}\medspace dt, то \frac{1}{R C}\int u_{in}\medspace dt\medspace-\medspace \frac{1}{R C}\int u_{out}\medspace dt \approx 0 и, соответственно, u_{out} \approx u_{in}. То есть сигнал на выходе приближенно повторяет входной сигнал. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы постоянная времени цепи имела малую величину.
  • Если u_{out} >> \frac{1}{R C}\int u_{out}\medspace dt, то u_{out} \approx \frac{1}{R C}\int u_{in} \medspace dt. В данном случае цепь хорошо выполняет свою интегрирующую функцию, и чем больше будет величина постоянной времени цепи, тем интегрирующие свойства будут лучше.

Для того, чтобы убедиться в работоспособности цепи, давайте подадим на ее вход точно такой же сигнал, какой мы использовали при анализе работы дифференцирующей цепи, то есть последовательность прямоугольных импульсов.

При малых значениях \tau сигнал на выходе будет очень похож на входной сигнал, а при больших величинах постоянной времени цепи, на выходе мы увидим сигнал, приближенно равный интегралу входного. Последовательность импульсов представляет собой участки равного напряжения, а интеграл от константы представляет из себя линейную функцию (\medspace \int Cdx = Cx). Таким образом, на выходе мы должны увидеть пилообразное напряжение. Проверяем на практике:

Работа интегрирующей RC-цепи

Желтым цветом здесь изображен сигнал на входе, а синим, соответственно, выходные сигналы при разных значениях постоянной времени цепи. Как видите, мы получили именно такой результат, который и ожидали увидеть 👍

Подписаться
Уведомить о
guest

23 комментариев
Старые
Новые
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Chettuser
Chettuser
6 лет назад

Было бы неплохо ещё про LR-цепи рассказать. Понимаю, что они применяются реже, но всё же...

Владимир
Владимир
5 лет назад

Почему при положительном скачке в дифференцирующей цепи он заряжается мгновенно, а разряжается не мгновенно?
(третья картинка с осциллографа).

Alex
Alex
5 лет назад

Так все же чем дифференциальная схема отличается от интегрирующей

vladk
vladk
Ответ на комментарий  Alex
5 лет назад

Дифференциальная схема отличается от интегрирующей существенными, я бы даже сказал принципиальными, отличиями, которые подробно рассмотрены в статье.

Евгений
Евгений
4 лет назад

В нескольких местах встретил: Uout приблизительно равен dUin. Т.е. выходное напряжение приблизительно равно дифференциалу входного? Не лишний ли здесь знак дифференциала?

сергей
сергей
4 лет назад

ВСЁ ПРАВИЛЬНО И ЧЁТКО СКАЗАНО! СПАСИБО ! НАПОМНИЛ!!! надо задержки включения и выключения делать вот и поглядел.вспомнил! спасибо!

сергей
сергей
4 лет назад

именно на интегрирующих и дифференцирующих цепочках легко делать задержку включения сигналки.......время отработки её..да и так далее!!! СПАСИБО ЕЩЁ РАЗ

Денис
Денис
3 лет назад

У вас для интегрирующей RC в выражении dUout лишняя R в знаменатели

Alex
Alex
2 лет назад

Скажите пожалуйста, а если мы будем пропускать через интегрирующую цепь два сигнала с раной продолжительностью импульса, одна будет равна постоянной времени, а второй сигнал с продолжительностью импульса много меньшей значения постоянной времени, какие значения будет принимать выходной сигнал, как вообще будут отличаться друг от друга графики выходных значений?

иван
иван
9 месяцев назад

описанные в статье процессы в RC-цепочке справедливы для переменного или постоянного тока?

иван
иван
Ответ на комментарий  Aveal
9 месяцев назад

хотя на переменном токе (синусоида) высокой частоты конденсатор не будет оказывать влияние на процессы своим реактивным сопротивлением поскольку оно будет мало на ВЧ.
и тогда U[out] = 'U[in]' - 'U[R]' ( - падение на активном сопротивлении кондюка).
или не так?

иван
иван
Ответ на комментарий  Aveal
9 месяцев назад

ага спасибо значит rc-цепочки используются для токов низких частот

Петя Андреев
8 месяцев назад

А как связано tau с временем интегрирования сигналов?
Если у меня в систему приходит сигнал в виде импульсов с частой 15 герц. Как мне правильно подобрать R и C, что бы интегрировать определенное количество импульсов?

Фактически мне на вход приходят +- импульсы одинаковой силы, а я хочу получить некоторое число, которое будет зависеть от силы этих самых импульсов.

Константин
Константин
8 месяцев назад

Здравствуйте, можете ответить на вопрос, в каком соотношении находятся величины tи и τ в дифференцирующей и интегрирующей цепи?

Илкин
Илкин
7 месяцев назад

здравствуйте у меня возник такой вопрос, В каком соотношении находятся величины tи и тау в дифференцирующей и интегрирующей цепи ?

23
0
Оставьте комментарий! Напишите, что думаете по поводу статьи.x