Последовательное и параллельное соединение резисторов.

Как я и обещал в статье про переменные резисторы (ссылка), сегодня речь пойдет о возможных способах соединения резисторов, в частности о последовательном соединении и о параллельном.

Соединение резисторов

Последовательное соединение резисторов.

Давайте начнем с рассмотрения цепей, элементы которой соединены последовательно. И хоть мы и будем рассматривать только резисторы в качестве элементов цепи в данной статье, но правила, касающиеся напряжений и токов при разных соединениях будут справедливы и для других элементов. Итак, первая цепь, которую мы будем разбирать выглядит следующим образом:

Последовательное соединение резисторов

Здесь у нас классический случай последовательного соединения – два последовательно включенных резистора. Но не будем забегать вперед и рассчитывать общее сопротивление цепи, а для начала рассмотрим все напряжения и токи. Итак, первое правило заключается в том, что протекающие по всем проводникам токи при последовательном соединении равны между собой:

I = I_1 = I_2

А для определения общего напряжения при последовательном соединении, напряжения на отдельных элементах необходимо просуммировать:

U = U_1 + U_2

В то же время, по закону Ома для напряжений, сопротивлений и токов в данной цепи справедливы следующие соотношения:

U_1 = I_1R_1 = IR_1

U_2 = I_2R_2 = IR_2

Тогда для вычисления общего напряжения можно будет использовать следующее выражение:

U = U_1 + U_2 = IR_2 + IR_2 = I(R_1 + R_2)

Но для общего напряжение также справедлив закон Ома:

U = IR_0

Здесь R_0 – это общее сопротивление цепи, которое исходя из двух формул для общего напряжения равно:

R_0 = R_1 + R_2

Таким образом, при последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи будет равно сумме сопротивлений всех проводников.

Например для следующей цепи:

Последовательное соединение

Общее сопротивление будет равно:

R_0 = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7 + R_8 + R_9 + R_10

Количество элементов значения не имеет, правило, по которому мы определяем общее сопротивление будем работать в любом случае 🙂 А если при последовательном  соединении все сопротивления равны (R_1 = R_2 = .... = R), то общее сопротивление цепи составит:

R_0 = nR

n в данной формуле равно количеству элементов цепи.

С последовательным соединением резисторов мы разобрались, давайте перейдем к параллельному.

Параллельное соединение резисторов.

Параллельное соединение резисторов

При параллельном соединении напряжения на проводниках равны:

U_1 = U_2 = U

А для токов справедливо следующее выражение:

I = I_1 + I_2

То есть общий ток разветвляется на две составляющие, а его значение равно сумме всех составляющих. По закону Ома:

I_1 = \frac{U_1}{R_1} = \frac{U}{R_1}

I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{U}{R_2}

Подставим эти выражения в формулу общего тока:

I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} = U(\frac{1}{R1} + \frac{1}{R2})

А по закону Ома ток:

I = \frac{U}{R_0}

Приравниваем эти выражения и получаем формулу для общего сопротивления цепи:

\frac{1}{R_0} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

Данную формулу можно записать и несколько иначе:

R_0 = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}

Таким образом, при параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников.

Аналогичная ситуация будет наблюдаться и при большем количестве проводников, соединенных параллельно:

Параллельное соединение

\frac{1}{R_0} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5} + \frac{1}{R_6}

Смешанное соединение резисторов.

Помимо параллельного и последовательного соединений резисторов существует еще смешанное соединение. Из названия уже понятно, что при таком соединении в цепи присутствуют резисторы, соединенные как параллельно, так и последовательно. Вот пример такой цепи:

Смешанное соединение резисторов

Давайте рассчитаем общее сопротивление цепи. Начнем с резисторов R_1 и R_2 – они соединены параллельно. Мы можем рассчитать общее сопротивление для этих резисторов и заменить их в схеме одним единственным резистором R_{1-2}:

R_{1-2} = \frac{R1R2}{R1 + R2} = 1

Теперь у нас образовались две группы последовательно соединенных резисторов:

Соединения резисторов

  • R_{1-2} и R_3
  • R_4 и R_5

Заменим эти две группы двумя резисторами, сопротивление которых равно:

R_{1-2-3} = R_{1-2} + R_3 = 5

R_{4-5} = R_4 + R_5 = 24

Смешанное соединение резисторов

Как видите, схема стала уже совсем простой ) Заменим группу параллельно соединенных резисторов R_{1-2-3} и R_{4-5}  одним резистором R_{1-2-3-4-5}:

R_{1-2-3-4-5} = \frac{R_{1-2-3}R_{4-5}}{R_{1-2-3} + R_{4-5}} = \frac{5 * 24}{5 + 24} = 4.14

И в итоге у нас на схеме осталось только два резистора соединенных последовательно:

Упрощенная схема

Общее сопротивление цепи получилось равным:

R_0 = R_{1-2-3-4-5} + R_6 = 4.14 + 10 = 14.14

Таким вот образом достаточно большая схема свелась к простейшему последовательному соединению двух резисторов 😉

Тут стоит отметить, что некоторые схемы невозможно так просто преобразовать и определить общее сопротивление – для таких схем нужно использовать правила Кирхгофа, о которых мы обязательно поговорим в будущих статьях. А сегодняшняя статья на этом подошла к концу, до скорых встреч на нашем сайте!

Понравилась статья? Поделись с друзьями!

Последовательное и параллельное соединение резисторов.: 8 комментариев
  1. Заменим эти две группы двумя резисторами, сопротивление которых равно:

    R_{1-2-3} = R_{1-2} + R_3 = 6

    R_{4-5} = R_4 + R_5 = 24

    и как на картинке ниже получилось 2 и 12?

      • так и расчеты дальнейшие не верны…поправьте пжл
        а то новички могут впасть в ступор

          • В реальной жизни всё не так просто. Пример: имею сопротивление 100 Ом. необходимо 80 Ом. какое сопротивление добавить параллельно, чтобы получить 80 Ом? То есть известно общее сопротивление 80Ом, известно одно из сопротивлений, найти номинал второго сопротивления. Нет такой формулы нигде. Везде где смог найти, решение со всеми известными номиналами.

            • Добрый день!
              Все следует из формулы:
              Rобщ = R1 * R2 / (R1 + R2)
              Нам известно Rобщ и R1, надо найти R2 – одно уравнение, одно неизвестное, решаем:

              Rобщ * (R1 + R2) = R1 * R2;
              Rобщ * R1 + Rобщ * R2 = R1 * R2;
              R1 * R2 – Rобщ * R2 = Rобщ * R1;
              R2 * (R1 – Rобщ) = Rобщ * R1;
              R2 = Rобщ * R1 / (R1 – Rобщ);

              В данном случае: R1 = 100 Ом, Rобщ = 80 Ом.
              R2 = 80 * 100 / (100 – 80) = 400 Ом.

  2. СУПЕР! Спасибо за быстрый ответ. Я сам не смог инвертировать расчет. Половину дня потратил на поиски.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *