RC-цепь. Дифференцирующие и интегрирующие RC-цепи.

Обсудив в предыдущих статьях устройство и принцип работы резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, мы имеем полное право перейти к рассмотрению цепей, состоящих из этих элементов 👍 Этим сегодня и займемся.

Дифференцирующая RC-цепь.

Из названия цепи, в принципе, уже понятно, что за элементы входят в ее состав - это конденсатор и резистор. И выглядит она следующим образом:

Работа данной схемы основана на том, что ток, протекающий через конденсатор, прямо пропорционален скорости изменения напряжения, приложенного к нему:

i = C\medspace\frac{du_c}{dt}

Напряжения в цепи связаны следующим образом (по закону Кирхгофа):

u_{out} = u_{in}\medspace-\medspace u_c

В то же время, по закону Ома мы можем записать:

u_{out} = i R = C R\medspace\frac{du_c}{dt}

Выразим u_c из первого выражения и подставим во второе:

u_{out} = C R\medspace\frac{du_c}{dt} = C R\medspace(\frac{du_{in}}{dt}\medspace-\medspace \frac{du_{out}}{dt}\medspace)

u_{out} = C R\medspace\frac{du_{in}}{dt}\medspace-\medspace C R\medspace\frac{du_{out}}{dt}

При условии, что C R\medspace\frac{du_{out}}{dt} << u_{out} (то есть скорость изменения напряжения низкая) мы получаем приближенную зависимость для напряжения на выходе:

u_{out} \approx C R\medspace\frac{du_{in}}{dt}

Таким образом, цепь полностью оправдывает свое название, ведь напряжение на выходе представляет из себя дифференциал входного сигнала. Но возможен еще и другой случай, когда C R\medspace\frac{du_{out}}{dt} >> u_{out} (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства получаем другую ситуацию:

C R\medspace\frac{du_{in}}{dt} = C R\medspace\frac{du_{out}}{dt}

То есть: u_{out} \approx u_{in}.

Можно заметить, что условие C R\medspace\frac{du_{out}}{dt} << u_{out} будет лучше выполняться при небольших значениях произведения C R, которое называют постоянной времени цепи:

\tau = R C

Давайте разберемся, какой смысл несет в себе эта характеристика. Заряд и разряд конденсатора происходят по экспоненциальному закону:

u = U_0\medspace e^{-t/\tau}

Здесь U_0 - напряжение на заряженном конденсаторе в начальный момент времени. Теперь посмотрим, каким будет значение напряжения по истечении времени \tau:

U_{\tau} = U_0\medspace e^{-\tau/\tau} = U_0\medspace e^{-1} \approx 0.37\medspace U_0

Напряжение на конденсаторе уменьшится до 37% от первоначального. Таким образом, \tau - это время, за которое конденсатор:

• при заряде - зарядится до 63%
• при разряде - разрядится на 63% (разрядится до 37%)

С постоянной времени цепи разобрались, вернемся к дифференцирующей RC-цепи. Теоретические аспекты функционирования проанализировали, так что давайте посмотрим, как все это работает на практике. А для этого попробуем подавать на вход какой-нибудь сигнал и посмотрим, что получится на выходе. В качестве примера, подадим на вход последовательность прямоугольных импульсов:

А вот как выглядит осциллограмма выходного сигнала (второй канал - синий цвет):

Большую часть времени напряжение на входе неизменно, а значит его дифференциал равен 0 (производная константы = 0). Именно это мы и видим на графике, значит RC-цепь выполняет свою дифференцирующую функцию. А с чем связаны всплески на выходной осциллограмме? Все просто - при "включении" входного сигнала происходит процесс заряда конденсатора, то есть по цепи проходит ток и напряжение на выходе максимально. А затем по мере протекания процесса заряда ток уменьшается по экспоненциальному закону до нулевого значения, а вместе с ним уменьшается напряжение на выходе, ведь оно равно u_{out} = i R. Теперь увеличим масштаб осциллограммы и получим наглядную иллюстрацию процесса заряда:

При "отключении" сигнала на входе дифференцирующей цепи происходит аналогичный переходный процесс, но только вызван он не зарядом, а разрядом конденсатора.

В данном случае постоянная времени цепи имеет небольшую величину, поэтому цепь хорошо дифференцирует входной сигнал. По нашим теоретическим расчетам, чем больше мы будем увеличивать постоянную времени, тем больше выходной сигнал будет похож на входной. Давай проверим это на практике, будем увеличивать сопротивление резистора, что и приведет к росту \tau:

Тут даже не надо ничего комментировать - результат налицо 👍 Мы подтвердили теоретические выкладки, проведя практические эксперименты, так что переходим к следующему вопросу - к интергрирующим RC-цепям.

Интегрирующая RC-цепь.

Запишем выражения для вычисления тока и напряжения данной цепи:

i = C\medspace\frac{du_{out}}{dt}

В то же время ток мы можем определить из Закона Ома:

i = \frac{u_R}{R} = \frac{u_{in}\medspace-\medspace u_{out}}{R}

Приравниваем эти выражения и получаем:

C\medspace\frac{du_{out}}{dt} = \frac{u_{in}\medspace-\medspace u_{out}}{R}

du_{out} = \frac{1}{C}\medspace\frac{u_{in}\medspace-\medspace u_{out}}{R}\enspace dt

Проинтегрируем правую и левую части равенства:

u_{out} = \frac{1}{R C}\medspace \int(u_{in}\medspace-\medspace u_{out})\medspace dt = \frac{1}{R C}\medspace \int u_{in}\medspace dt\medspace-\medspace \frac{1}{R C}\medspace \int u_{out}\medspace dt

Как и в случае с дифференцирующей RC-цепочкой здесь возможны два случая:

• Если u_{out} << \frac{1}{R C}\int u_{out}\medspace dt, то \frac{1}{R C}\int u_{in}\medspace dt\medspace-\medspace \frac{1}{R C}\int u_{out}\medspace dt \approx 0 и, соответственно, u_{out} \approx u_{in}. То есть сигнал на выходе приближенно повторяет входной сигнал. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы постоянная времени цепи имела малую величину.
• Если u_{out} >> \frac{1}{R C}\int u_{out}\medspace dt, то u_{out} \approx \frac{1}{R C}\int u_{in} \medspace dt. В данном случае цепь хорошо выполняет свою интегрирующую функцию, и чем больше будет величина постоянной времени цепи, тем интегрирующие свойства будут лучше.

Для того, чтобы убедиться в работоспособности цепи, давайте подадим на ее вход точно такой же сигнал, какой мы использовали при анализе работы дифференцирующей цепи, то есть последовательность прямоугольных импульсов.

При малых значениях \tau сигнал на выходе будет очень похож на входной сигнал, а при больших величинах постоянной времени цепи, на выходе мы увидим сигнал, приближенно равный интегралу входного. Последовательность импульсов представляет собой участки равного напряжения, а интеграл от константы представляет из себя линейную функцию (\medspace \int Cdx = Cx). Таким образом, на выходе мы должны увидеть пилообразное напряжение. Проверяем на практике:

Желтым цветом здесь изображен сигнал на входе, а синим, соответственно, выходные сигналы при разных значениях постоянной времени цепи. Как видите, мы получили именно такой результат, который и ожидали увидеть 👍