Настройка ПИД-регулятора. Метод Циглера-Никольса.

Продолжаем начатую тему, посвященную работе ПИД-регулятора, и сегодня речь пойдет непосредственно и исключительно о настройке ПИД-регулятора. Начнем, как полагается, с теоретических моментов, затем же плавно перейдем к практическому примеру на базе регулятора температуры на STM32, созданному нами в той, первой, статье.

Настройка ПИД-регулятора. Теория.

И, собственно, данная настройка заключается в том, чтобы вычислить или подобрать оптимальные значения коэффициентов:

• K_p - коэффициент усиления пропорциональной составляющей
• K_i - коэффициент усиления интегрирующей составляющей
• K_d - коэффициент усиления дифференцирующей составляющей

По большому счету, при использовании ПИД-регулятора необходимо построить модель всей системы в целом и математически вычислить необходимые значения коэффициентов. В таком случае значения можно рассчитать очень точно. Но на практике математический расчет коэффициентов - задача далеко не тривиальная и требует глубоких знаний теории автоматического управления, поэтому в большинстве случаев используются другие, упрощенные, методы настройки.

Существует целый ряд различных способов, которые определяют вполне конкретные шаги, которые необходимо предпринимать. Мы же разберем один из них, а именно - метод Циглера-Никольса, ввиду того, что он получил наибольшее распространение и популярность.

Метод Циглера-Никольса.

Заключается он в последовательном выполнении следующих операций:

1. Обнуляем все коэффициенты регулятора.
2. Задаем некоторое целевое значение регулируемого параметра (например, температуры).
3. Постепенно начинаем увеличивать пропорциональный коэффициент и следим за реакцией системы.
4. При определенном значении K_p возникнут незатухающие колебания регулируемой величины.
5. Фиксируем это значение, а также период колебаний системы.

На этом практическая часть метода заканчивается. Из полученных значений рассчитываем коэффициенты:

K_p = 0.6\cdot K \\
K_i = (2\cdot K_p)\medspace/\medspace T \\
K_d = (K_p\cdot T)\medspace/\medspace 8

Здесь K – тот самый коэффициент пропорциональной составляющей, при котором возникли колебания, а T – период этих колебаний. Рассмотрим псевдо-пример для получения более полного представления о данном процессе. Пусть при K_p равном 10, возникают колебания следующего рода:

Период составляет 0.1 с. Производим расчеты по вполне конкретным формулам и получаем:

K_p = 0.6\cdot 10 = 6 \\
K_i = (2\cdot 6)\medspace/\medspace 0.1 = 120 \\
K_d = (6\cdot 0.1)\medspace/\medspace 8 = 0.075

Все, на этом процедура окончена.

Метод довольно прост, но применить его можно далеко не всегда. И получаемые результаты также будут оптимальными далеко не всегда. На практике я метод Циглера-Никольса применял считанное число раз, больше доверяясь экспериментально-аналитическому способу, которому и буде посвящена последующая часть статьи.

Суть метода можно описать максимально кратко:

• Берем систему.
• Меняем один из коэффициентов.
• Смотрим за реакцией системы.
• Анализируем произошедшее и принимаем решение о дальнейших действиях.

Данный метод также вполне можно назвать «методом проб и ошибок», тем не менее это работает. Главное иметь представление о том, как система функционирует и как она реагирует на изменения, чтобы производимые манипуляции не носили хаотичный, близкий к случайному характер. Кроме того, не следует менять несколько значений сразу, тогда отслеживание результата становится практически неосуществимым. Поменяли-посмотрели-поменяли-посмотрели…

Сами значения коэффициентов могут принимать абсолютно разные значение, от 0 до десятков-сотен тысяч. Это все зависит, в первую очередь, от конкретной системы, и следует даже просто из того, что регулируемые и регулирующие параметры могут быть абсолютно разными.

Пусть, к примеру, у нас температура может меняться от 20°C до 40°C, при этом мощность нагревателя – от 100 Вт до 1000 Вт. Это частный случай. Берем абсолютно другую систему, там ПИД-регулятор контролирует угол наклона гиростабилизированной платформы. Объект регулирования – угол наклона, выходное воздействие – сигнал для управления двигателем, вращающим платформу. При этом рабочий диапазон углов: [-0.1°; 0.1°]. То есть изначально мы имеем абсолютно другие порядки участвующих в работе системы параметров, соответственно, и коэффициенты ПИД-регулятора могут иметь значения, разнящиеся на несколько порядков.

Перечислим еще некоторые свойства, которые призваны помочь в анализе работы системы и настройке ПИД-регулятора:

• Увеличение коэффициента усиления пропорциональной составляющей приводит к увеличению быстродействия, но снижению устойчивости системы.
• Интегральная составляющая служит для уменьшения статической ошибки, о чем мы говорили в предыдущей статье. При увеличении K_i компенсация ошибки будет происходить быстрее.
• Увеличение K_d позволяет повысить стабильность системы, но слишком большое значение может также стать причиной возникновения колебаний, поэтому, как и для остальных коэффициентов, нужно все манипуляции производить аккуратно и в меру.

Не для всех систем целесообразно использовать все три составляющие, иногда достаточно и нескольких из них. Собственно, на этой ноте переходим к практическому примеру настройки ПИД-регулятора. Произведем базовую, максимально наглядную, настройку, дабы получить в первом приближении нормально функционирующую систему. Система крайне инертная и медленная по своей сути, так что можно столкнуться с проблемами, напоминаю структурную схему творения:

Пример настройки ПИД-регулятора на микроконтроллере STM32.

Итак, проект мы создали в первой части, сейчас же целенаправленно займемся настройкой значений:

float Kp = 0;
float Ki = 0;
float Kd = 0;

На данный момент все коэффициенты в нуле, то есть регулятор не функционирует. Начинаем последовательно производить настройку описанным экспериментально-аналитическим способом. Прикинем возможные диапазоны значений. Итак, пусть невязка (разница между текущим значением температуры и целевым) равна 1°C. Выходной сигнал может изменяться от 0 до 1000 (длительность импульсы ШИМ-сигнала для управления охлаждением). Если поставим K_p равным 100, то на это значение невязки получим длительность импульса выходного ШИМ-сигнала равной 100, вполне адекватное значение.

Для анализа поведения системы будем производить следующее:

• Задаем целевое значение 30°C, ждем пока система стабилизируется.
• Задаем целевое значение 40°C, аналогично ожидаем эффекта.
• Строим график зависимости температуры датчика от времени и анализируем полученное.

Приступаем, тест №1:

Видим, что все точно в соответствии с теорией – при использовании только пропорциональной составляющей система не может выйти на требуемые значения из-за статической ошибки. Отлично, добавим интегрирующую составляющую, задав некоторое значение K_i:

На этот раз уже все иначе – целевое значение более-менее установить удается, но имеем неслабый выброс при подходе к значению. Логичным шагом будет увеличение коэффициента усиления дифференцирующей составляющей:

Так, стало получше (амплитуда выброса уменьшилась), увеличиваем K_d еще:

Отлично, выброс практически погасили, но выходить на нужное значение хотелось бы побыстрее. Вывод очевиден – увеличиваем коэффициент усиления пропорциональной составляющей (K_p):

Вот, намного приятнее, посмотрим на последние два варианта друг относительно друга:

Вполне себе ничего результат в итоге. Опять же система очень инертная изначально, датчик производит измерения не слишком быстро, да и шаг дискретизации приличный - 0.125 °C. Так что результат вполне годный. Наблюдаемые промежуточные графики очень хорошо демонстрируют суть протекающих процессов, а это и было нашей целью – получение наглядного примера, дополняющего рассмотренные теоретические аспекты. Так что на этом заканчиваем на сегодня, следите за обновлениями и спасибо за внимание 🤝

Ссылка на проект - MT_PID_Project.