Обучение нейронных сетей. Обратное распространение ошибки.

Рад снова всех приветствовать, и сегодня продолжим планомерно двигаться в выбранном направлении. Речь, конечно, о масштабном разборе искусственных нейронных сетей для решения широкого спектра задач. Продолжим ровно с того момента, на котором остановились в предыдущей части, и это означает, что героем данного поста будет ключевой процесс - обучение нейронных сетей.

Тема эта крайне важна, поскольку именно процесс обучения позволяет сети начать выполнять задачу, для которой она, собственно, и предназначена. То есть нейронная сеть функционирует не по какому-либо жестко заданному на этапе проектирования алгоритму, она совершенствуется в процессе анализа имеющихся данных. Этот процесс и называется обучением нейронной сети. Математически суть процесса обучения заключается в корректировке значений весов синапсов (связей между имеющимися нейронами). Изначально значения весов задаются случайно, затем производится обучение, результатом которого будут новые значения синаптических весов. Это все мы максимально подробно разберем как раз в этой статье.

На своем сайте я всегда придерживаюсь концепции, при которой теоретические выкладки по максимуму сопровождаются практическими примерами для максимальной наглядности. Так мы поступим и сейчас 👍

Итак, суть заключается в следующем. Пусть у нас есть простейшая нейронная сеть, которую мы хотим обучить (продолжаем рассматривать сети прямого распространения):

То есть на входы нейронов I1 и I2 мы подаем какие-либо числа, а на выходе сети получаем соответственно новое значение. При этом нам необходима некая выборка данных, включающая в себя значения входов и соответствующее им, правильное, значение на выходе:

Допустим, сеть выполняет суммирование значений на входе, тогда данный набор данных может быть таким:

Эти значения и используются для обучения сети. Как именно - рассмотрим чуть ниже, пока сконцентрируемся на идее процесса в целом. Для того, чтобы иметь возможность тестировать работу сети в процессе обучения, исходную выборку данных делят на две части - обучающую и тестовую. Пусть имеется 1000 образцов, тогда можно 900 использовать для обучения, а оставшиеся 100 - для тестирования. Эти величины взяты исключительно ради наглядности и демонстрации логики выполнения операций, на практике все зависит от задачи, размер обучающей выборки может спокойно достигать и сотен тысяч образцов.

Итак, итог имеем следующий - обучающая выборка прогоняется через сеть, в результате чего происходит настройка значений синаптических весов. Один полный проход по всей выборке называется эпохой. И опять же, обучение нейронной сети - это процесс, требующий многократных экспериментов, анализа результатов и творческого подхода. Все перечисленные параметры (размер выборки, количество эпох обучения) могут иметь абсолютно разные значения для разных задач и сетей. Четкого правила тут просто нет, в этом и кроется дополнительный шарм и изящность )

Возвращаемся к разбору, и в результате прохода обучающей выборки через сеть мы получаем сеть с новыми значениями весов синапсов.

Далее мы через эту, уже обученную в той или иной степени, сеть прогоняем тестовую выборку, которая не участвовала в обучении. При этом сеть выдает нам выходные значения для каждого образца, которые мы сравниваем с теми верными значениями, которые имеем.

Анализируем нашу гипотетическую выборку:

Таким образом, для тестирования подаем на вход сети значения x_{(M+1)1}, x_{(M+1)2} и проверяем, чему равен выход, ожидаем очевидно значение y_{(M+1)}. Аналогично поступаем и для оставшихся тестовых образцов. После чего мы можем сделать вывод, успешно или нет работает сеть. Например, сеть дает правильный ответ для 90% тестовых данных, дальше уже встает вопрос - устраивает ли нас данная точность или процесс обучения необходимо повторить, либо провести заново, изменив какие-либо параметры сети.

В этом и заключается суть обучения нейронных сетей, теперь перейдем к деталям и конкретным действиям, которые необходимо осуществить для выполнения данного процесса. Двигаться снова будем поэтапно, чтобы сформировать максимально четкую и полную картину. Поэтому начнем с понятия градиентного спуска, который используется при обучении по методу обратного распространения ошибки. Обо всем этом далее…

Обучение нейронных сетей. Градиентный спуск.

Рассмотрев идею процесса обучения в целом, на данном этапе мы можем однозначно сформулировать текущую цель - необходимо определить математический алгоритм, который позволит рассчитать значения весовых коэффициентов таким образом, чтобы ошибка сети была минимальна. То есть грубо говоря нам необходима конкретная формула для вычисления:

\Delta w_{ij} = f(...)

Здесь \Delta w_{ij} - величина, на которую необходимо изменить вес синапса, связывающего нейроны i и j нашей сети. Соответственно, зная это, необходимо на каждом этапе обучения производить корректировку весов связей между всеми элементами нейронной сети. Задача ясна, переходим к делу.

Пусть функция ошибки от веса имеет следующий вид:

E = f(w)

Для удобства рассмотрим зависимость функции ошибки от одного конкретного веса:

В начальный момент мы находимся в некоторой точке кривой, а для минимизации ошибки попасть мы хотим в точку глобального минимума функции:

Нанесем на график вектора градиентов в разных точках. Длина векторов численно равна скорости роста функции в данной точке, что в свою очередь соответствует значению производной функции по данной точке. Исходя из этого, делаем вывод, что длина вектора градиента определяется крутизной функции в данной точке:

Вывод прост - величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Это важный вывод, к которому мы еще вернемся. А тем временем разберемся с направлением вектора, для чего рассмотрим еще несколько возможных точек:

Находясь в точке 1, целью является перейти в точку 2, поскольку в ней значение ошибки меньше (E_2 < E_1), а глобальная задача по-прежнему заключается в ее минимизации. Для этого необходимо изменить величину w на некое значение \Delta w (\Delta w = w_2 - w_1 > 0). При всем при этом в точке 1 градиент отрицательный. Фиксируем данные факты и переходим к точке 3, предположим, что мы находимся именно в ней.

Тогда для уменьшения ошибки наш путь лежит в точку 4, а необходимое изменение значения: \Delta w = w_4 - w_3 < 0. Градиент же в точке 3 положителен. Этот факт также фиксируем.

А теперь соберем воедино эту информацию в виде следующей иллюстрации:

Вывод напрашивается сам собой - величина, на которую необходимо изменить значение w, в любой точке противоположна по знаку градиенту. И, таким образом, представим эту самую величину в виде:

\Delta w = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw}

Имеем в наличии:

• \Delta w - величина, на которую необходимо изменить значение w.
• \frac{dE}{dw} - градиент в этой точке.
• \alpha - скорость обучения.

Собственно, логика метода градиентного спуска и заключается в данном математическом выражении, а именно в том, что для минимизации ошибки необходимо изменять w в направлении противоположном градиенту. В контексте нейронных сетей имеем искомый закон для корректировки весов синаптических связей (для синапса между нейронами i и j):

\Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}}

Более того, вспомним о важном свойстве, которое мы отдельно пометили. И заключается оно в том, что величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Что это нам дает? А то, что в том случае, если наша текущая дислокация далека от места назначения, то величина, корректирующая вес связи, будет больше. А это обеспечит скорейшее приближение к цели. При приближении к целевому пункту, величина \frac{dE}{dw_{ij}} будет уменьшаться, что поможет нам точнее попасть в нужную точку, а кроме того, не позволит нам ее проскочить. Визуализируем вышеописанное:

Скорость же обучения несет в себе следующий смысл. Она определяет величину каждого шага при поиске минимума ошибки. Слишком большое значение приводит к тому, что точка может «перепрыгнуть» через нужное значение и оказаться по другую сторону от цели:

Если же величина будет мала, то это приведет к тому, что спуск будет осуществляться очень медленно, что также является нежелательным эффектом. Поэтому скорость обучения, как и многие другие параметры нейронной сети, является очень важной величиной, для которой нет единственно верного значения. Все снова зависит от конкретного случая и оптимальная величина определяется исключительно исходя из текущих условий.

И даже на этом еще не все, здесь присутствует один важный нюанс, который в большинстве статей опускается, либо вовсе не упоминается. Реальная зависимость может иметь совсем другой вид:

Из чего вытекает потенциальная возможность попадания в локальный минимум, вместо глобального, что является большой проблемой. Для предотвращения данного эффекта вводится понятие момента обучения и формула принимает следующий вид:

\Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

То есть добавляется второе слагаемое, которое представляет из себя произведение момента на величину корректировки веса на предыдущем шаге.

Итого, резюмируем продвижение к цели:

• Нашей задачей было найти закон, по которому необходимо изменять величину весов связей между нейронами.
• Наш результат - \Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1} - именно то, что и требовалось 👍

И опять же, полученный результат логичным образом перенаправляет нас на следующий этап, ставя вопросы - что из себя представляет функция ошибки, и как определить ее градиент.

Обучение нейронных сетей. Функция ошибки.

Начнем с того, что определимся с тем, что у нас в наличии, для этого вернемся к конкретной нейронной сети. Пусть вид ее таков:

Интересует нас, в первую очередь, часть, относящаяся к нейронам выходного слоя. Подав на вход определенные значения, получаем значения на выходе сети: O_{net, 1} и O_{net, 2}. Кроме того, поскольку мы ведем речь о процессе обучения нейронной сети, то нам известны целевые значения: O_{correct, 1} и O_{correct, 2}. И именно этот набор данных на этом этапе является для нас исходным:

• Известно: O_{net, 1}, O_{net, 2}, O_{correct, 1} и O_{correct, 2}.
• Необходимо определить величины \Delta w_{ij} для корректировки весов, для этого нужно вычислить градиенты (\frac{dE}{dw_{ij}}) для каждого из синапсов.

Полдела сделано - задача четко сформулирована, начинаем деятельность по поиску решения.

В плане того, как определять ошибку, первым и самым очевидным вариантом кажется простая алгебраическая разность. Для каждого из выходных нейронов:

E_k = O_{correct, k} - O_{net, k}

Дополним пример числовыми значениями:

Недостатком данного варианта является то, что в том случае, если мы попытаемся просуммировать ошибки нейронов, то получим:

E_{sum} = e_1 + e_2 = -0.4 + 0.4 = 0

Что не соответствует действительности (нулевая ошибка, говорит об идеальной работе нейронной сети, по факту оба нейрона дали неверный результат). Так что вариант с разностью откидываем за несостоятельностью.

Вторым, традиционно упоминаемым, методом вычисления ошибки является использование модуля разности:

E_k = | O_{correct, k} - O_{net, k} |

Тут в действие вступает уже проблема иного рода:

Функция, бесспорно, симпатична, но при приближении к минимуму ее градиент является постоянной величиной, скачкообразно меняясь при переходе через точку минимума. Это нас также не устраивает, поскольку, как мы обсуждали, концепция заключалась в том числе в том, чтобы по мере приближения к минимуму значение градиента уменьшалось.

В итоге хороший результат дает зависимость (для выходного нейрона под номером k):

E_k = (O_{correct, k} - O_{net, k})^2

Функция по многим своим свойствам идеально удовлетворяет нуждам обучения нейронной сети, так что выбор сделан, остановимся на ней. Хотя, как и во многих аспектах, качающихся нейронных сетей, данное решение не является единственно и неоспоримо верным. В каких-то случаях лучше себя могут проявить другие зависимости, возможно, что какой-то вариант даст большую точность, но неоправданно высокие затраты производительности при обучении. В общем, непаханное поле для экспериментов и исследований, это и привлекательно.

Краткий вывод промежуточного шага, на который мы вышли:

• Имеющееся: \frac{dE}{dw_{jk}} = \frac{d}{d w_{jk}}(O_{correct, k} - O_{net, k})^2.
• Искомое по-прежнему: \Delta w_{jk}.

Несложные диффернциально-математические изыскания выводят на следующий результат:

\frac{dE}{d w_{jk}} = -(O_{correct, k} - O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) \cdot O_j

Здесь эти самые изыскания я все-таки решил не вставлять, дабы не перегружать статью, которая и так выходит объемной. Но в случае необходимости и интереса, отпишите в комментарии, я добавлю вычисления и закину их под спойлер, как вариант.

Освежим в памяти структуру сети:

Формулу можно упростить, сгруппировав отдельные ее части:

• (O_{correct, k} - O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) - ошибка нейрона k.
• O_j - тут все понятно, выходной сигнал нейрона j.

f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) - значение производной функции активации. Причем, обратите внимание, что \sum_{j}w_{jk}O_j - это не что иное, как сигнал на входе нейрона k (I_{k}). Тогда для расчета ошибки выходного нейрона: \delta_k = (O_{correct, k} - O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k).

Итог: \frac{dE}{d w_{jk}} = -\delta_k \cdot O_j.

Одной из причин популярности сигмоидальной функции активности является то, что ее производная очень просто выражается через саму функцию:

f{'}(x) = f(x)\medspace (1\medspace-\medspace f(x))

Данные алгебраические вычисления справедливы для корректировки весов между скрытым и выходным слоем, поскольку для расчета ошибки мы используем просто разность между целевым и полученным результатом, умноженную на производную.

Для других слоев будут незначительные изменения, касающиеся исключительно первого множителя в формуле:

\frac{dE}{d w_{ij}} = -\delta_j \cdot O_i

Который примет следующий вид:

\delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)

То есть ошибка для элемента слоя j получается путем взвешенного суммирования ошибок, «приходящих» к нему от нейронов следующего слоя и умножения на производную функции активации. В результате:

\frac{dE}{d w_{ij}} = -(\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j) \cdot O_i

Снова подводим промежуточный итог, чтобы иметь максимально полную и структурированную картину происходящего. Вот результаты, полученные нами на двух этапах, которые мы успешно миновали:

• Ошибка:
  • выходной слой: \delta_k = (O_{correct, k} - O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k)
  • скрытые слои: \delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)
• Градиент: \frac{dE}{d w_{ij}} = -\delta_j \cdot O_i
• Корректировка весовых коэффициентов: \Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

Преобразуем последнюю формулу:

\Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

Из этого мы делаем вывод, что на данный момент у нас есть все, что необходимо для того, чтобы произвести обучение нейронной сети. И героем следующего подраздела будет алгоритм обратного распространения ошибки.

Метод обратного распространения ошибки.

Данный метод является одним из наиболее распространенных и популярных, чем и продиктован его выбор для анализа и разбора. Алгоритм обратного распространения ошибки относится к методам обучение с учителем, что на деле означает необходимость наличия целевых значений в обучающих сетах.

Суть же метода подразумевает наличие двух этапов:

• Прямой проход - входные сигналы двигаются в прямом направлении, в результате чего мы получаем выходной сигнал, из которого в дальнейшем рассчитываем значение ошибки.
• Обратный проход - обратное распространение ошибки - величина ошибки двигается в обратном направлении, в результате происходит корректировка весовых коэффициентов связей сети.

Начальные значения весов (перед обучением) задаются случайными, есть ряд методик для выбора этих значений, я опишу в отдельном материале максимально подробно. Пока вот можно полистать - ссылка.

Вернемся к конкретному примеру для явной демонстрации этих принципов:

Итак, имеется нейронная сеть, также имеется набор данных обучающей выборки. Как уже обсудили в начале статьи - обучающая выборка представляет из себя набор образцов (сетов), каждый из которых состоит из значений входных сигналов и соответствующих им «правильных» значений выходных величин.

Процесс обучения нейронной сети для алгоритма обратного распространения ошибки будет таким:

1. Прямой проход. Подаем на вход значения I_1, I_2, I_3 из обучающей выборки. В результате работы сети получаем выходные значения O_{net, 1}, O_{net, 2}. Этому целиком и полностью был посвящен предыдущий манускрипт.
2. Рассчитываем величины ошибок для всех слоев:
   • для выходного: \delta_k = (O_{correct, k} - O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k)
   • для скрытых: \delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)
3. Далее используем полученные значения для расчета \Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}
4. И финишируем, рассчитывая новые значения весов: w_{ij \medspace new} = w_{ij} + \Delta w_{ij}
5. На этом один цикл обучения закончен, данные шаги 1 - 4 повторяются для других образцов из обучающей выборки.

Обратный проход завершен, а вместе с ним и одна итерация процесса обучения нейронной сети по данному методу. Собственно, обучение в целом заключается в многократном повторении этих шагов для разных образцов из обучающей выборки. Логику мы полностью разобрали, при повторном проведении операций она остается в точности такой же.

Таким образом, максимально подробно концентрируясь именно на сути и логике процессов, мы в деталях разобрали метод обратного распространения ошибки. Поэтому переходим к завершающей части статьи, в которой разберем практический пример, произведя полностью все вычисления для конкретных числовых величин. Все в рамках продвигаемой мной концепции, что любая теоретическая информация на порядок лучше может быть осознана при применении ее на практике.

Пример расчетов для метода обратного распространения ошибки.

Возьмем нейронную сеть и зададим начальные значения весов:

Здесь я задал значения не в соответствии с существующими на сегодняшний день методами, а просто случайным образом для наглядности примера.

В качестве функции активации используем сигмоиду:

f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}

И ее производная:

f{\Large{\prime}}(x) = f(x)\medspace (1\medspace-\medspace f(x))

Берем один образец из обучающей выборки, пусть будут такие значения:

• Входные: I_1 = 0.6, I_1 = 0.7.
• Выходное: O_{correct} = 0.9.

Скорость обучения \alpha пусть будет равна 0.3, момент - \gamma = 0.1. Все готово, теперь проведем полный цикл для метода обратного распространения ошибки, то есть прямой проход и обратный.

Прямой проход.

Начинаем с выходных значений нейронов 1 и 2, поскольку они являются входными, то:

O_1 = I_1 = 0.6 \\
O_2 = I_2 = 0.7

Значения на входе нейронов 3, 4 и 5:

I_3 = O_1 \cdot w_{13} + O_2 \cdot w_{23} = 0.6 \cdot (-1\medspace) + 0.7 \cdot 1 = 0.1 \\
I_4 = 0.6 \cdot 2.5 + 0.7 \cdot 0.4 = 1.78 \\
I_5 = 0.6 \cdot 1 + 0.7 \cdot (-1.5\medspace) = -0.45

На выходе этих же нейронов первого скрытого слоя:

O_3 = f(I3\medspace) = 0.52 \\
O_4 = 0.86\\
O_5 = 0.39

Продолжаем аналогично для следующего скрытого слоя:

I_6 = O_3 \cdot w_{36} + O_4 \cdot w_{46} + O_5 \cdot w_{56} = 0.52 \cdot 2.2 + 0.86 \cdot (-1.4\medspace) + 0.39 \cdot 0.56 = 0.158 \\
I_7 = 0.52 \cdot 0.34 + 0.86 \cdot 1.05 + 0.39 \cdot 3.1 = 2.288 \\
O_6 = f(I_6) = 0.54 \\
O_7 = 0.908

Добрались до выходного нейрона:

I_8 = O_6 \cdot w_{68} + O_7 \cdot w_{78} = 0.54 \cdot 0.75 + 0.908 \cdot (-0.22\medspace) = 0.205 \\
O_8 = O_{net} = f(I_8) = 0.551

Получили значение на выходе сети, кроме того, у нас есть целевое значение O_{correct} = 0.9. То есть все, что необходимо для обратного прохода, имеется.

Обратный проход.

Как мы и обсуждали, первым этапом будет вычисление ошибок всех нейронов, действуем:

\delta_8 = (O_{correct} - O_{net}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_8) = (O_{correct} - O_{net}) \cdot f(I_8) \cdot (1-f(I_8)) = (0.9 - 0.551\medspace) \cdot 0.551 \cdot (1-0.551\medspace) = 0.0863 \\
\delta_7 = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = (\delta_8 \cdot w_{78}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = 0.0863 \cdot (-0.22\medspace) \cdot 0.908 \cdot (1 - 0.908\medspace) = -0.0016 \\
\delta_6 = 0.086 \cdot 0.75 \cdot 0.54 \cdot (1 - 0.54\medspace) = 0.016 \\
\delta_5 = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_5) = (\delta_7 \cdot w_{57} + \delta_6 \cdot w_{56}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = (-0.0016 \cdot 3.1 + 0.016 \cdot 0.56) \cdot 0.39 \cdot (1 - 0.39\medspace) = 0.001 \\
\delta_4 = (-0.0016 \cdot 1.05 + 0.016 \cdot (-1.4)) \cdot 0.86 \cdot (1 - 0.86\medspace) = -0.003 \\
\delta_3 = (-0.0016 \cdot 0.34 + 0.016 \cdot 2.2) \cdot 0.52 \cdot (1 - 0.52\medspace) = 0.0087

С расчетом ошибок закончили, следующий этап - расчет корректировочных величин для весов всех связей. Для этого мы вывели формулу:

\Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

Как вы помните, \Delta w_{ij}^{t - 1} - это величина поправки для данного веса на предыдущей итерации. Но поскольку у нас это первый проход, то данное значение будет нулевым, соответственно, в данном случае второе слагаемое отпадает. Но забывать о нем нельзя. Продолжаем калькулировать:

\Delta w_{78} = \alpha \cdot \delta_8 \cdot O_7 = 0.3 \cdot 0.0863 \cdot 0.908 = 0.0235 \\
\Delta w_{68} = 0.3 \cdot 0.0863 \cdot 0.54= 0.014 \\
\Delta w_{57} = \alpha \cdot \delta_7 \cdot O_5 = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.39= -0.00019 \\
\Delta w_{47} = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.86= -0.0004 \\
\Delta w_{37} = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.52= -0.00025 \\
\Delta w_{56} = \alpha \cdot \delta_6 \cdot O_5 = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.39= 0.0019 \\
\Delta w_{46} = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.86= 0.0041 \\
\Delta w_{36} = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.52= 0.0025 \\
\Delta w_{25} = \alpha \cdot \delta_5 \cdot O_2 = 0.3 \cdot 0.001 \cdot 0.7= 0.00021 \\
\Delta w_{15} = 0.3 \cdot 0.001 \cdot 0.6= 0.00018 \\
\Delta w_{24} = \alpha \cdot \delta_4 \cdot O_2 = 0.3 \cdot (-0.003\medspace) \cdot 0.7= -0.00063 \\
\Delta w_{14} = 0.3 \cdot (-0.003\medspace) \cdot 0.6= -0.00054 \\
\Delta w_{23} = \alpha \cdot \delta_3 \cdot O_2 = 0.3 \cdot 0.0087\medspace \cdot 0.7= 0.00183 \\
\Delta w_{13} = 0.3 \cdot 0.0087\medspace \cdot 0.6= 0.00157

И самый что ни на есть заключительный этап - непосредственно изменение значений весовых коэффициентов:

w_{78 \medspace new} = w_{78} + \Delta w_{78} = -0.22 + 0.0235 = -0.1965 \\
w_{68 \medspace new} = 0.75+ 0.014 = 0.764 \\
w_{57 \medspace new} = 3.1 + (−0.00019\medspace) = 3.0998\\
w_{47 \medspace new} = 1.05 + (−0.0004\medspace) = 1.0496\\
w_{37 \medspace new} = 0.34 + (−0.00025\medspace) = 0.3398\\
w_{56 \medspace new} = 0.56 + 0.0019 = 0.5619 \\
w_{46 \medspace new} = -1.4 + 0.0041 = -1.3959 \\
w_{36 \medspace new} = 2.2 + 0.0025 = 2.2025 \\
w_{25 \medspace new} = -1.5 + 0.00021 = -1.4998 \\
w_{15 \medspace new} = 1 + 0.00018 = 1.00018 \\
w_{24 \medspace new} = 0.4 + (−0.00063\medspace) = 0.39937 \\
w_{14 \medspace new} = 2.5 + (−0.00054\medspace) = 2.49946 \\
w_{23 \medspace new} = 1 + 0.00183\medspace = 1.00183 \\
w_{13 \medspace new} = -1 + 0.00157\medspace = 0.99843\\

И на этом данную масштабную статью завершаем, конечно же, не завершая на этом деятельность по использованию нейронных сетей. Так что всем спасибо за прочтение, любые вопросы пишите в комментариях и на форуме, ну и обязательно следите за обновлениями и новыми материалами, до встречи!