Как то так повелось, что очень нравятся мне всякие алгоритмы, имеющие четкое и логичное математическое обоснование 🙂 Но зачастую их описание в интернете настолько перегружено формулами и расчетами, что общий смысл понять просто невозможно. А ведь понимание сути и принципа работы устройства/механизма/алгоритма намного важнее, чем заучивание огромных формул. Как это ни банально, но запоминание даже сотни формул ничем не поможет, если не знать, как и где их применить…
Собственно, к чему все это. Решил я сделать описание некоторых алгоритмов, с которыми мне приходилось сталкиваться на практике. Постараюсь не перегружать математическими выкладками, чтобы материал был понятным, а чтение легким. И сегодня мы поговорим о фильтре Калмана, разберемся, что это такое, для чего и как он применяется.
Фильтр Калмана.
Начнем с небольшого примера. Пусть перед нами стоит задача определять координату летящего самолета. Причем, естественно, координата (обозначим ее x_k) должна определяться максимально точно.
На самолете мы заранее установили датчик, который и дает нам искомые данные о местоположении, но, как и все в этом мире, наш датчик неидеален. Поэтому вместо значения x_k мы получаем:
Здесь e_k – ошибка датчика, то есть случайная величина. Таким образом, из неточных показаний измерительного оборудования мы должны получить значение координаты (x_{k,o}), максимально близкое к реальному положению самолета.
Задача поставлена, перейдем к ее решению!
Пусть мы знаем управляющее воздействие (s_k), благодаря которому летит самолет (пилот сообщил нам, какие рычаги он дергает 🙂 ). Тогда, зная координату на k-ом шаге, мы можем получить значение x_{k+1} на (k+1) шаге:
Казалось бы, вот оно, то что надо! И никакой фильтр Калмана тут не нужен. Но не все так просто… В реальности мы не можем учесть все внешние факторы, влияющие на полет, поэтому формула принимает следующий вид:
где n_k – ошибка, вызванная внешним воздействием, неидеальностью двигателя итп.
Итак, что же получается? На шаге (k+1) мы имеем, во-первых, неточное показание датчика y_{k+1}, а во-вторых, неточно рассчитанное значение x_{k+1}, полученное из значения x_{k,o} на предыдущем шаге.
Идея фильтра Калмана заключается в том, чтобы из двух неточных значений (взяв их с разными весовыми коэффициентами) получить точную оценку искомой координаты (для нашего случая). В общем случае, измеряемая величина можем быть абсолютно любой (температура, скорость…). Вот, что получается:
Путем математических вычислений мы можем получить формулу для расчета коэффициента Калмана на каждом шаге, но, как условились в начале статьи, не будем углубляться в вычисления, тем более, что на практике установлено, что коэффициент Калмана с ростом k всегда стремится к определенному значению. Получаем первое упрощение нашей формулы:
А теперь предположим, что связи с пилотом нет, и мы не знаем управляющее воздействие s_k. Казалось бы, в этом случае фильтр Калмана мы использовать не можем, но это не так 🙂 Упрощаем формулу:
Получаем максимально “облегченную” формулу Калмана, которая тем не менее, несмотря на такие “жесткие” упрощения, прекрасно справляется со своей задачей. Если представить результаты графически, то получится примерно следующее:
В том случае, когда наш датчик очень точный, то естественно весовой коэффициент K должен быть близок к единице. А если ситуация обратная, то есть датчик у нас не очень хороший, то K должен быть ближе к нулю.
На этом, пожалуй, все, вот так вот просто мы разобрались с алгоритмом фильтрации Калмана! Надеюсь, что статья оказалась полезной и понятной 🙂
