Фильтр Калмана. Алгоритм фильтрации данных.

Как то так повелось, что очень нравятся мне всякие алгоритмы, имеющие четкое и логичное математическое обоснование. Но зачастую их описание в интернете настолько перегружено формулами и расчетами, что общий смысл понять просто невозможно. А ведь понимание сути и принципа работы устройства/механизма/алгоритма намного важнее, чем заучивание формул. Как это ни банально, но запоминание даже сотни формул ничем не поможет, если не знать, как и где их применить.

Собственно, к чему все это. Решил я сделать описание некоторых алгоритмов, с которыми мне приходилось сталкиваться на практике. Постараюсь не перегружать математическими выкладками, чтобы материал был понятным, а чтение легким. И сегодня мы поговорим о фильтре Калмана, разберемся, что это такое, для чего и как он применяется.

Фильтр Калмана.

Начнем с небольшого примера. Пусть перед нами стоит задача определять координату летящего самолета. Причем, естественно, координата (обозначим ее x_k) должна определяться максимально точно:

На самолете мы заранее установили датчик, который и дает нам искомые данные о местоположении, но, как и все в этом мире, наш датчик неидеален. Поэтому вместо значения x_k мы получаем:

y_k = x_k + e_k

Здесь e_k - ошибка датчика, то есть случайная величина. Таким образом, из неточных показаний измерительного оборудования мы должны получить значение координаты (x_{k,o}), максимально близкое к реальному положению самолета.

Задача поставлена, перейдем к ее решению!

Пусть мы знаем управляющее воздействие (s_k), благодаря которому летит самолет (пилот сообщил нам о своих действиях). Тогда, зная координату на k-ом шаге, мы можем получить значение x_{k+1} на (k+1) шаге:

x_{k+1} = x_k + s_k

Казалось бы, вот оно, то что надо, и никакой фильтр Калмана тут не нужен. Но не все так просто... В реальности мы не можем учесть все внешние факторы, влияющие на полет, поэтому формула принимает следующий вид:

x_{k+1} = x_k + s_k + n_k

где n_k - ошибка, вызванная внешним воздействием, неидеальностью двигателя и т п.

Итак, что же получается? На шаге (k+1) мы имеем, во-первых, неточное показание датчика y_{k+1}, а во-вторых, неточно рассчитанное значение x_{k+1}, полученное из значения x_{k,o} на предыдущем шаге.

x_{k+1} = x_{k,o} + s_k

Идея фильтра Калмана заключается в том, чтобы из двух неточных значений (взяв их с разными весовыми коэффициентами) получить точную оценку искомой координаты (для нашего случая). В общем случае, измеряемая величина можем быть абсолютно любой (температура, скорость...). Вот, что получается:

x_{k+1,o} = K_{k+1}\medspace y_{k+1} + (1-K_{k+1})\medspace x_{k+1}

Путем математических вычислений мы можем получить формулу для расчета коэффициента Калмана на каждом шаге, но, как условились в начале статьи, не будем углубляться в вычисления, тем более, что на практике установлено, что коэффициент Калмана с ростом k всегда стремится к определенному значению. Получаем первое упрощение нашей формулы:

x_{k+1,o} = Ky_{k+1} + (1\medspace-\medspace K)\medspace x_{k+1},\enspace где\enspace x_{k+1} =\medspace x_{k,o} + s_k

А теперь предположим, что связи с пилотом нет, и мы не знаем управляющее воздействие s_k. Казалось бы, в этом случае фильтр Калмана мы использовать не можем, но это не так. Упрощаем формулу:

x_{k+1,o} = Ky_{k+1} + (1\medspace-\medspace K)\medspace x_{k,o}

Получаем максимально "облегченную" формулу Калмана, которая тем не менее, несмотря на такие "жесткие" упрощения, прекрасно справляется со своей задачей. Если представить результаты графически, то результат может иметь, например, такой вид:

В том случае, когда наш датчик очень точный, то естественно весовой коэффициент K должен быть близок к единице. А если ситуация обратная, то есть датчик не очень хорош, то K должен быть ближе к нулю.

На этом, пожалуй, все, вот так просто мы разобрались с алгоритмом фильтрации Калмана, надеюсь, что статья оказалась полезной и понятной 🤝